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一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题
一、函数的极值及其求法
定义 设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在点
x
0
x_0
x0 的某邻域
U
(
x
0
)
U(x_0)
U(x0) 内有定义，如果对于去心邻域
U
˚
(
x
0
)
\mathring{U}(x_0)
U˚(x0) 内的任一
x
x
x ，有
f
(
x
)
<
f
(
x
0
)
(
或
f
(
x
)
>
f
(
x
0
)
)
,
f(x) < f(x_0) \quad (或 f(x) > f(x_0)) ,
f(x)
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个极大值（或极小值）。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，是函数取得极值的点称为极值点。
函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个极大值，那只是就
x
0
x_0
x0 附近的一个局部范围来说，
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个最大值；如果就
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的整个定义域来说，
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 不见得是最大值。关于极小值也类似。
定理1（必要条件） 设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可导，且在
x
0
x_0
x0 处取得极值，则
f
′
(
x
0
)
=
0
f^{'}(x_0) = 0
f′(x0)=0 。
定理1就是说：可导函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的极值点必定是它的驻点。但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值。
定理2（第一充分条件） 设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处连续，且在
x
0
x_0
x0 的某去心邻域
U
˚
(
x
0
,
δ
)
\mathring{U}(x_0, \delta)
U˚(x0,δ) 内可导。 （1）若
x
∈
(
x
0
−
δ
,
x
0
)
x \in (x_0 - \delta, x_0)
x∈(x0−δ,x0) 时，
f
′
(
x
)
>
0
f^{'}(x) > 0
f′(x)>0 ，而
x
∈
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
x \in (x_0, x_0 + \delta)
x∈(x0,x0+δ) 时，
f
′
(
x
)
<
0
f^{'}(x) < 0
f′(x)<0 ，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处取得极大值； （2）若
x
∈
(
x
0
−
δ
,
x
0
)
x \in (x_0 - \delta, x_0)
x∈(x0−δ,x0) 时，
f
′
(
x
)
<
0
f^{'}(x) < 0
f′(x)<0 ，而
x
∈
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
x \in (x_0, x_0 + \delta)
x∈(x0,x0+δ) 时，
f
′
(
x
)
>
0
f^{'}(x) > 0
f′(x)>0 ，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处取得极小值； （3）若
U
˚
(
x
0
,
δ
)
\mathring{U}(x_0, \delta)
U˚(x0,δ) 时，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的符号保持不变，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处没有极值。
根据上面两个定理，如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那么就可以按一下步骤来求
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在该区间内的极值点和相应的极值： （1）求出导数
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) ； （2）求出
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的全部驻点与不可导点； （3）考察
f
′
(
x
)
f^{'}(x)
f′(x) 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； （4）求出各极值点的函数值，就得函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的全部极值。
定理3（第二充分条件） 设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处具有二阶导数且
f
′
(
x
0
)
=
0
f^{'}(x_0) = 0
f′(x0)=0 ，
f
′
′
(
x
0
)
≠
0
f^{''}(x_0) \neq 0
f′′(x0)=0 ，则 （1）当
f
′
′
(
x
0
)
<
0
f^{''}(x_0) < 0
f′′(x0)<0 时，函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处取得极大值； （2）当
f
′
′
(
x
0
)
>
0
f^{''}(x_0) > 0
f′′(x0)>0 时，函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处取得极小值。
定理3表明，如果函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在驻点
x
0
x_0
x0 处的二阶导数
f
′
′
(
x
0
)
≠
0
f^{''}(x_0) \neq 0
f′′(x0)=0 ，那么该驻点
x
0
x_0
x0 一定是极值点，并且可按二阶导数
f
′
′
(
x
0
)
f^{''}(x_0)
f′′(x0) 的符号来判定
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是极大值还是极小值。但如果
f
′
′
(
x
0
)
=
0
f^{''}(x_0) = 0
f′′(x0)=0 ，那么定理3就不能应用。事实上 ，当
f
′
(
x
0
)
=
0
f^{'}(x_0) = 0
f′(x0)=0 ，
f
′
′
(
x
0
)
=
0
f^{''}(x_0) = 0
f′′(x0)=0 时，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
0
x_0
x0 处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值。因此，如果函数的驻点处的二阶导数为零，那么可以用一阶导数在驻点左、右邻近的符号来判定。如果函数在驻点处有
f
′
′
(
x
0
)
=
⋯
=
f
(
n
−
1
)
(
x
0
)
=
0
f^{''}(x_0) = \cdots = f^{(n - 1)}(x_0) = 0
f′′(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0 ，
f
(
n
)
(
x
0
)
≠
0
f^{(n)}(x_0) \neq 0
f(n)(x0)=0 ，那么也可以利用具有佩亚诺余项的泰勒公式来判定。
二、最大值最小值问题
假定函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在闭区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上连续，在开区间
(
a
,
b
)
(a, b)
(a,b) 内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点。在上述条件下，我们来讨论
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的最大值和最小值的求法。
首先，由闭区间上连续函数的性质可知，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的最大值和最小值一定存在。
其次，如果最大值（或最小值）
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 在开区间
(
a
,
b
)
(a, b)
(a,b) 内的点
x
0
x_0
x0 处取得，那么，按
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在开区间内除有限个点外可导且至多有有限个驻点的假定，可知
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 一定也是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的极大值（或极小值），从而
x
0
x_0
x0 一定是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的驻点或不可导点。又
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得。因此，可用如下方法求
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的最大值和最小值：
（1）求出
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
(
a
,
b
)
(a, b)
(a,b) 内的驻点及不可导点； （2）计算
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在上述驻点、不可导点出的函数值及
f
(
a
)
f(a)
f(a) ，
f
(
b
)
f(b)
f(b) ； （3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的最大值，最小的便是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的最小值。
在求函数的最大值（或最小值）时，特别值得指出的是下述情形：
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点
x
0
x_0
x0 ，并且这个驻点
x
0
x_0
x0 是函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的极值点，那么，当
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是极大值时，
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 就是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在该区间上的最大值；当
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是极小值时，
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 就是
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在该区间上的最小值。
还要指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 确有最大值或最小值，而且一定在区间内部取得。这时，如果
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在定义区间内部只有一个驻点
x
0
x_0
x0 ，那么不必讨论
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是不是极值，就可以断定
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0) 是最大值或最小值。
原文链接：高等数学 3.5 函数的极值与最大值最小值